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勾股举隅

一卷。清梅文鼎(详见《历算全书》)撰。勾股术是中算史上重要研究课题,《九章算术》的勾股章中讨论了在勾、股、弦三事中任择其二解三角形问题。后经王孝通、朱世杰等人的发展,由简而繁,代有进展。到了清代,勾股术已扩展到如下十四事之互求了,这就是:勾、股、弦、勾股积、勾股和、勾股较、勾弦和、勾弦较、股弦和、股弦较、弦和和(即c+a+b),弦和较(即a+b-c),弦较和(即c+ba),弦较较(即c-b+a)共十四事。已知十四事中的任何二事解勾股形的问题变化多端。梅文鼎《勾股举隅》就对其中几类问题略举数例以示解题途径。梅文鼎在书中探讨的类型有如下八种:已知勾股积及弦求诸数;已知弦和和与勾股差求诸数;已知弦和较与勾股差求诸数;已知勾弦和与股弦和求诸数;已知勾股积与弦和和求诸数;已知勾股积与弦和较求诸数;已知勾股积与弦较和求诸数;已知勾股积与弦较较求诸数,对每种类型给出二种方法与一种简法。他用图解题,巧妙胜算,道前人所未道,具有首创意义。梅氏这一研究成果后为玄烨的《数理精蕴》、项名达的《勾股六术》一再引用。在具体计算中,梅文鼎创制了一系列算图,利用图形直观性证明了公式(c-b+a)(c+b-a)=2ab、2(c-b+a)(b-a)=2ab-(c-b+a)2、c=c-b+a+(b-a)、c(2a+2b+2c)=(a+b+c)2-2ab,于是将较繁杂的计算问题化归成为简单的勾股问题。在《勾股举隅》中,梅文鼎还用勾股术分析阐述了程大位《算法统宗》勾股章中的“度影量竿”、“隔水量高”两题的立法理由。梅文鼎的工作,将我国勾股术的研究推向了新的高峰,对陈訏、罗士琳、项名达、吴嘉善等人的勾股术研究产生了很大的影响。当代中算史家沈康身《勾股术新议》中对梅文鼎的这一工作做了深入研究并给予高度评价。《勾股举隅》的版本有:1795年听彝堂《艺海珠尘》本;《梅氏历算全书》本(即《勾股阐微》之卷二);《梅氏丛书辑要》本(梅珏成在辑此书时对《勾股阐微》卷二、三、四进行删改而成《勾股举隅》一卷《几何通解》一卷);《中西算学汇通》本。现在北京图书馆、浙江图书馆及钱宝琮处有藏本。

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